PRINCIPE DE FONCTIONNEMENT DE LA POWERBALL

Constitution de la powerball

La powerball est constituée de 3 pièces, la boule (2) que le joueur tient dans la main, la toupie (4) et le porte-toupie (3).

 

 

boule_transparente.gif

La powerball assemblée

 

La toupie (4) a un mouvement de rotation autour de  par rapport au porte-toupie (3).

On modélisera l’assemblage entre la toupie (4) et le porte-toupie (3), après justification ultérieure, par une liaison rotule à doigt.

Le porte-toupie (3) a un mouvement de rotation autour de  par rapport à la boule (2).

On modélisera l’assemblage entre le porte-toupie (3) et la boule (2), après justification ultérieure, par une liaison pivot glissant.

 

 

 

Le graphe des liaisons se dessine donc ci-dessus.

La 3ème liaison entre la boule (2) et la toupie (4) ne peut s’appréhender qu’après une description du principe de la « dynamique » de la powerball.

 

Principe de la dynamique de la powerball

Initialement, le seul mouvement existant est le mouvement de rotation de la toupie (4) par rapport au porte-toupie (3) autour de .

La main du joueur (serrant la boule (2)) donne alors un mouvement de rotation à la boule (2) autour de , la boule (2) entraînant avec elle la toupie (4) et le porte-toupie (3).

La dynamique de la powerball peut alors s’initialiser.

La toupie est animée d’une vitesse de rotation (rotation propre) autour de  et d’une vitesse de rotation autour de  (perpendiculaire à ), ces 2 vitesses de rotation créant un « couple gyroscopique » autour de  perpendiculaire à la fois à  et .

Ce « couple » entraîne donc la rotation de l’ensemble ((toupie)-(porte-toupie)) par rapport à la boule autour de .

La vitesse de rotation de la toupie (4) initialisée autour de , combinée à sa vitesse de rotation autour , engendre à son tour un « couple gyroscopique » autour de  qui vient s’opposer au couple qui a donné naissance au mouvement, le couple exercé par la main du joueur. Et c’est la perception de l’orientation de ce couple transmis à la main, qui indique au joueur comment placer son mouvement par rapport au mouvement de la toupie.

 

La liaison entre la boule (2) et la toupie (4)

Le « couple gyroscopique » appliqué à la toupie (4) autour de  est en fait transmis et uniquement transmis à la boule (2) par les contacts de l’axe de la toupie (4) avec la gorge creusée à l’intérieur de la boule (2) (le diamètre de l’axe de la toupie (4) est plus grand que l’épaisseur de la collerette du porte-toupie (3)).

Les 2 contacts se créent automatiquement, l’un sur le 1er plan et l’autre sur le 2ème plan (plan opposé) de la gorge, pour « équilibrer » l’action du couple. Les frottements entre l’axe de la toupie (4) et la gorge de la boule (2) sont tels que la toupie (4) se met à rouler sans glisser dans la gorge de la boule (le roulement sans glissement serait impossible si les points de contact se trouvaient sur le même plan de la gorge), accompagnant alors la rotation de l’ensemble ((toupie)-(porte-toupie)) autour de  créé par le « couple gyroscopique ».

 

RSGavec_et_sansportetoupie1.gif

Roulement sans glissement – Transmission du couple gyroscopique
entre la toupie (4) et la boule (2)

 

Les rotations de la toupie autour de  et  sont alors liées, et tout l’art du joueur se résume donc à sa faculté de donner à la boule une rotation autour de , engendrant à son tour une rotation autour de , engendrant à son tour la rotation propre de la toupie (3) autour de .

Le but du jeu étant de faire tourner la toupie de plus en plus vite, il est alors difficile au joueur de synchroniser le mouvement de rotation de sa main, de manière à ce qu’à tout instant, cette rotation reste perpendiculaire à la rotation propre de la toupie.

Modélisation de la powerball

On propose la modélisation représentée sur le schéma ci-contre.

La liaison pivot glissant entre la boule (2) et le porte-toupie (3) guide leur rotation relative.

La liaison rotule à doigt entre la toupie (4) et le porte-toupie (3) laisse la liberté à la toupie, d’une part de tourner autour de , et d’autre part, avec la translation rendue possible par la liaison pivot glissant de prendre appui sur la boule (2), sur les plans opposés de la gorge, en I’ sur le 1er plan de la gorge et en I sur le 2ème plan (2ème plan non représenté sur le schéma).

Enfin, le doigt de cette liaison permet la transmission du mouvement de rotation autour de , de la toupie au porte-toupie.

 

 est un repère lié au porte-toupie (3).

On pose  et .

 

Modélisation du MOUVEMENT DE LA MAIN DU JOUEUR

Pour pouvoir mettre en équation la dynamique de la powerball, il est nécessaire de modéliser le mouvement de la main du joueur.

On propose la modélisation représentée sur les schémas ci-dessous.

 

Le solide (0) est supposé galiléen.

La main du joueur, et par conséquent la boule de la powerball sont représentées par le solide (2).

Le mouvement de la main est généré par un engrenage conique constitué de 2 roues (0) et (2). Ces 2 roues étant identiques, après un cycle de rotation de la main, cette dernière est revenue exactement dans la même position.

 

 est un 1er repère lié au porte-satellite (1).

Le porte-satellite (1) est en liaison pivot d’axe  avec le planétaire (0). On pose .

 

 est un 2ème repère lié au porte-satellite (1). On a , avec .

Le satellite (2) est en liaison pivot d’axe  avec le porte-satellite (1). On pose .

 

Le point O, centre de ce mécanisme sphérique, est également le centre du mécanisme sphérique powerball.

 

La ligne de contact entre les 2 roues (0) et (2) est représentée par l’axe .

On a , avec .

Cette ligne de contact est en fait l’axe instantané de rotation de la boule (2) (main) par rapport au planétaire (0).

 

On a vu que pour être efficace (l’étude dynamique le confirmera), le joueur devait imprimer une rotation à la boule autour d’un axe perpendiculaire à , où  représente l’axe de rotation propre de la toupie (4) par rapport au porte-toupie (3).

Pour bien faire donc, il faudrait que  soit confondu avec ,  étant perpendiculaire à la ligne de contact .

On va supposer ici que le joueur n’arrive pas à caler précisément le mouvement de sa main au mouvement du porte-toupie, et le décalage en question est représenté par l’angle . Cependant, on va considérer que le joueur est capable de donner à sa main la même vitesse de rotation que celle du porte toupie (les 2 solides (1) et (3) tournent en bloc avec le décalage ), ce qui se traduit par :  et .

 

Le graphe des liaisons du modèle d’étude est finalement représenté ci-dessous.

Ce mécanisme sphérique possédant un degré de mobilité égal à 1 (compte tenu du fait que le joueur asservit la vitesse de (1) à celle de (3)), on s’attachera à écrire les équations de la cinématique en fonction de la seule vitesse de rotation du porte-toupie (3) par rapport au planétaire (0) , et à écrire les équations de la dynamique en fonction de  et de sa dérivée par rapport au temps .

 

Schémas et graphe de structure

 

 

 

 

CARACTERISTIQUEs GEOMETRIQUEs DE LA powerball

On pose                  avec  ;

 

LA CINEMATIQUE DE LA POWERBALL

Le mécanisme étant mobile de degré 1, on cherche à déterminer les mouvements de rotation en fonction de la seule variable .

 

Le joueur asservissant la vitesse de (1) à celle de (3), on a :  et donc ,

soit  avec  .

 

On a  et .

 

L’engrenage conique se traduit par : , autrement dit .

 

 donne également .

 

                   

 

On en déduit :

 

On a . On connaît  et on pose .

 

         

 

 

Il reste à déterminer  en fonction de .

Le roulement sans glissement au point I se traduit par :

             

 

 

                   

 

 

 

Position des points I et I’

La rotation de la main est caractérisée par .

Quand , la rotation de la boule (main) étant positive sur , les contacts de l’axe de la toupie (4) dans la gorge de la boule (2) se créent effectivement aux points I et I’.

 

Les points I et I’ changent de plan quand le mouvement de la main s’inverse.

 

LA DYNAMIQUE DE LA POWERBALL

Le solide (1) et les liaisons qui le lient à (0) et (2) ne sont que virtuels, et sont définis ici uniquement pour caractériser la cinématique de la main du joueur.

Pour étudier la dynamique de la powerball, on considère donc maintenant le mécanisme constitué des solides (2), (3) et (4) animés des mouvements décrits précedemment.

 

Caracteristiques d’inertie des solides

Les solides (2) et (3) sont supposés sans masse, ce qui apparaît tout à fait légitime une fois que l’on a expérimenté la powerball et perçu que les efforts prépondérants étaient engendrés par la dynamique de la toupie seule (le couple gyroscopique).

 

Seule l’inertie de la toupie (4) sera donc prise en compte.

La toupie est de révolution, parfaitement équilibrée, son centre d’inertie étant le centre du mécanisme, le point fixe O, sa matrice d’inertie diagonale au point O s’écrivant :avec A et B du même ordre de grandeur.

 

Le solide (3) étant sans masse, on le supprime et on remplace la liaison série entre (2) et (4) par l’intermédiaire de (3) par la liaison équivalente linéaire annulaire.

 

Modelisation des actions mecaniques

L’action mécanique du joueur sur la boule (2) est représentée par le torseur suivant :

 

Les actions mécaniques de la boule (2) sur la toupie (4) en I et I’ sont modélisées par les torseurs suivants :

      et             

 

Les actions  et  sont transmises par adhérence en I et I’.

On ne tiendra pas compte des actions de frottement sur , ces dernières ne participant pas à la dynamique de la toupie.

Le torseur statique de la liaison linéaire s’écrit :

Mobilite et hyperstaticite

Le degré de mobilité de la liaison parallèle entre 2 et 4 vaut .

Son degré d’hyperstaticité h est tel que .

Le nombre d’équations statiques vaut .

Le nombre d’inconnues statiques vaut

(, , ,  pour les contacts en I et I’, ,  pour la liaison linéaire annulaire).

On en déduit que le degré d’hyperstaticité de la liaison parallèle entre 2 et 4 vaut .

 

Principe fondamental de la dynamique

Le centre d’inertie de la toupie (4) étant fixe, on en déduit que sa résultante dynamique  est nulle.

 

Le théorème de la résultante dynamique (T.R.D) appliqué à (4) s’écrit : .

En projection sur     :

En projection sur     :

En projection sur    :

 

Le théorème du moment dynamique (T.M.D) appliqué à (4) s’écrit : .

                           

 

             

En projection sur     :

En projection sur     :

En projection sur    :

 

La liaison parallèle entre 2 et 4 étant mobile de degré 1, on a une équation du mouvement, et il reste 5 équations pour déterminer les 6 inconnues statiques. Cette liaison est bien hyperstatique de degré 1.

On suppose que , et les 6 équations s’écrivent :

                                                                 

                                                                  

                                                                          

 

Il reste à expliciter les projections du moment dynamique .

         

 

T.M.D à (4) /

 

 

 

 

 [1]

[1]

 

T.M.D à (4) /

 

 

 

 [2]

[2]

 

T.M.D à (4) /

                     

 

 [3]

[3]

 

T.R.D à (2-4)

6 équations du PFD ont été écrites pour l’instant.

Le mécanisme étant constitué de 2 solides, il reste donc 6 dernières équations à écrire.

Le T.R.D appliqué à l’ensemble (2-4) donne 3 nouvelles équations.

Le solide (2) étant sans masse, on a .

On a également . Donc, .

On en déduit que .

 

T.M.D à (2)

Les 3 dernières équations seront obtenues en appliquant le T.M.D à (2) qui s’écrit :

Le solide (2) étant sans masse, on a .

 

 

T.M.D à (2) /

 [4]                                avec

 

T.M.D à (2) /

 [5]                              avec

 

T.M.D à (2) /

 [6]                               avec

 

On retient finalement les 6 équations suivantes, numérotées de [1] à [6].

 [1]

 [2]

 [3]

 [4]

 [5]

 [6]

 

En éliminant  à partir de [1] et [3], la combinaison linéaire  donne l’équation du mouvement [7] :

 

[7] équation du mouvement

 

L’équation [7] n’est pas une nouvelle équation du PFD. Elle est combinaison linéaire des équations [1] et [3]. Elle se substitue ici à l’équation [3].

On peut remarquer et se convaincre que cette équation du mouvement est en fait la projection du T.M.D. à (4) sur (OI), les projections des moments d’actions mécaniques sur (4) étant alors nulles.

 

APPROXIMATION

On a A et B du même ordre de grandeur,  et . Alors .

Les équations [1] , [4] , [6] et [7] deviennent :

[71]           [11] et [4] et [61]

 

Interpretation des équations de la dynamique

A grande vitesse, la main du joueur perd inexorablement de l’amplitude. Cette amplitude représentée par l’angle  n’est plus que de quelques degrés.

On suppose donc que . L’équation du mouvement devient :    [72]

Les équations [2] et [5] deviennent :                                                             [21] et [5]

Les équations [1] , [4] et [6] deviennent :                                                                                                              [12] et [4] et [6]

 

Dans le cas où le joueur parvient à caler parfaitement la rotation de sa main sur celle du porte-toupie. On a . L’équation du mouvement devient :  [72].

 

Interprétation

L’équation [72] montre que l’accélération du porte-toupie , (donc l’accélération de la toupie) est proportionnelle au carré de sa vitesse  (plus la toupie tourne vite, plus elle accélère, ce qui se vérifie expérimentalement), et à l’amplitude de la main du joueur , ceci bien sûr si le joueur est capable de maintenir le calage de sa main sur le porte-toupie, malgré les couples et la vitesse de plus en plus importants qui lui sont demandés.

En effet, les couples de la main sur la boule ,  et  sont également proportionnels à .

Après quelques heures de pratique, on devine que c’est principalement la fréquence de « vibration » de la main du joueur qui limite les performances de vitesse de la powerball. Une fréquence de 6Hz du poignet du joueur, à vide, sans aucune charge, est déjà une fréquence qui est loin d’être ridicule.

De plus à 6Hz, il ne faut pas compter obtenir d’une part, une grande amplitude de la main, et d’autre part un calage parfait du mouvement de la main sur celui du porte-toupie.

 

Une fréquence de rotation propre de la toupie de 250Hz est une performance de très haut niveau.

Elle correspond à une fréquence de la main d’environ 8Hz ( avec  et ).

 

Puissance apportée par la main

On devine aisément que la vitesse de la toupie augmente grâce à la puissance que lui apporte la main du joueur.

La vitesse de la main du joueur  étant portée par , on en déduit que le couple qui travaille est la projection .

                          

 

Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à l’ensemble (2-3-4) s’écrit :

                         

 

 

 

 avec

Le T.E.C donne l’équation [8] .

 

Quand  et , ,  et  se superposent, et .

 

L’équation [8] devient :  ce qui est conforme aux équations [72], [21] et [5].

 

La puissance apportée étant le produit du couple  par la vitesse de rotation de la main, ne serait-il pas intéressant pour battre des records de vitesse de rotation propre de la toupie, d’augmenter le rapport , afin d’abaisser la fréquence de la main , quitte à exercer un couple  plus important ?

 

La main est fixe

La main étant fixe (amplitude de la main  nulle), la puissance apportée par la main est donc nulle.

L’accélération de la toupie est par conséquent également nulle (équations [7] et [8]).

Cependant, le couple  (équations [21] et [5]) existe toujours, ce qui se vérifie expérimentalement.

 

Adhérence

On cherche à déterminer les conditions de non glissement de la toupie dans la gorge de la boule.

On se place toujours dans le cas où  et .

Le « rapport » des équations [11] sur [21] donne :

 

 

Si  ( angle de frottement toupie-boule) alors on a glissement en I et I’.

Cette condition est vérifiée expérimentalement à faible vitesse. Tant que la fréquence reste suffisamment faible, la main du joueur peut donner de l’amplitude () à la boule ( restant petit). L’axe de la toupie se met alors à glisser à l’intérieur de la gorge.

 

Un joueur de piètre niveau

On suppose maintenant que le joueur n’est pas capable de caler la rotation de sa main sur la rotation du porte-toupie. Sa main tourne bien à la même vitesse que le porte-toupie mais décalée de .

 

[7]

 

devient :     [73]                     pour

 

[4] et [1]   ; [6]  

 

L’accélération de la powerball est nulle, . Le couple  de la main sur la boule (porté par ) ne travaille plus, puisqu’il est orthogonal à la rotation de la main (portée par ).

 

Le roulement sans glissement

On rappelle les équations dans le cas où .

 [13] et [4]

 [22] et [5]

 [31] et [6]

 

Glissement entre (2) et (4)

Dans le cas où il y a glissement sans frottement aux points I et I’ de l’axe de la toupie (4) dans la gorge de la boule (2) (on enduit de graisse l’intérieur de la gorge), il n’est plus possible d’accélérer la rotation propre de la toupie.

La relation cinématique entre  et  n’existe plus, et l’action tangentielle de contact  entre (2) et (4) est nulle, .

Les équations de la dynamique deviennent pour  :

 

 [13] et [4]

 [22] et [5]

 [31] et [6]

 

L’équation [13]  signifie qu’il n’est pas possible d’accélérer la rotation propre de la toupie.

La vitesse de rotation propre de la toupie est constante.

La combinaison  donne :

En tenant compte de l’équation [5] , on obtient : .

Interprétation de l’équation

 

 

 

Le « couple gyroscopique »  est issu de la vitesse de rotation de la main  et du moment cinétique propre de la toupie .

Dans le cas du glissement (), ce « couple », égal à , accélère ou décélère l’ensemble ((toupie)-(porte-toupie)) autour de .(accélère ou décélère l’inertie de la toupie ).

 

Dans le cas du non-glissement, les vitesses  et  étant liées , une accélération du porte-toupie entraîne également une accélération de la rotation propre de la toupie. L’inertie accélérée par le « couple »  est alors la somme de l’inertie  et de l’inertie équivalente, ramenée sur la rotation du porte-toupie, de l’inertie A autour de l’axe propre de la toupie, soit .

On a alors égalité entre  et , ce que confirme l’équation [7] (pour , pour , qui on le rappelle a été obtenu en éliminant  dans une combinaison des équations [13] et [31].

 [7] pour

 

freinage DE LA POWERBALL

On reprend les équations :                   

Pour , la powerball accélère.

 

Pour , la powerball décélère. La main du joueur « accompagne » le couple que lui transmet la toupie. La main n’est plus motrice, mais réceptrice, elle amortit le mouvement de la powerball.

Tant que , l’action mécanique  ne change pas de signe et les contacts en I et I’ de la toupie (4) dans la gorge de la boule (2) sont maintenus.

 

representation schema-bloc de la dynamique de la poweball

 

 

Le schéma-bloc ci-dessus, accompagné des figures représentées au paragraphe « Schémas et graphe de structure », ainsi que des quelques lignes suivantes décrit l’interaction « joueur-powerball » lors de la mise en vitesse de la toupie.

 

On suppose que la rotation de la toupie est initialisée. Elle a une vitesse propre  autour de , et une vitesse  autour de  avec .

Le moment cinétique propre  autour de , combiné à la vitesse  autour de , crée un couple « gyroscopique »  autour de .

Ce couple « gyroscopique » (voir schéma-bloc) transmis de la toupie au joueur par l’intermédiaire de la boule est le couple prépondérant ressenti par la main.

Les capteurs sensoriels de la main et du bras du joueur lui indiquent l’intensité du couple « gyroscopique » qu’il ressent, mais également et surtout la direction de ce couple (soit ).

D’autres capteurs sensoriels lui indiquent la direction de la rotation de sa main (soit ,  quand ).

 

Pour optimiser la puissance transmise de la main à la powerball, il faut donc que le joueur agisse (action mécanique) sur la boule de sorte que la direction de la rotation de sa main se superpose à la direction du couple qu’il exerce pour vaincre le couple « gyroscopique » (soit , ou ) (vitesse de rotation de la main ).

 

La puissance apportée à la powerball permet l’accroissement de l’énergie cinétique de la toupie  (l’énergie cinétique de rotation propre est prépondérante).

On a alors  (théorème de l’énergie cinétique),

Et finalement l’équation du mouvement : .

 

equation du mouvement : dynamique analytique

Mise en situation

On souhaite retrouver l’équation du mouvement de la powerball grâce aux équations de Lagrange.

La modélisation de l’ensemble main-powerball est décrite au paragraphe « Schémas et graphe de structure ».

 

On rappelle que le joueur s’attache à asservir la rotation de sa main à celle du porte-toupie, autrement dit, à maintenir l’angle de calage  entre les solides (1) et (3) constant et même nul. L’ensemble main-powerball est alors un mécanisme mobile de degré 1 et les grandeurs cinétiques nécessaires à l’application du principe fondamental de la dynamique ont été exprimées en fonction de la seule variable  (avec ).

 

Dans le cadre de la dynamique analytique, pour déterminer l’équation du mouvement, il est nécessaire de considérer que le mouvement du mécanisme est décrit par les 2 paramètres  et .

On s’attachera donc à donner les expressions des grandeurs cinétiques en fonction de ces 2 paramètres, pour finalement considérer, une fois les calculs effectués, que  et .

Le champ de vitesses virtuel associé à notre mise en équation est donc caractérisé par  et .

L’action mécanique motrice est le couple que le joueur applique sur sa main (ou la boule), couple élaboré par ce dernier pour qu’à chaque instant, la rotation de sa main soit calée sur la rotation du porte-toupie (). Cette action mécanique est à l’origine d’une puissance virtuelle associée à  dont le calcul ne sera pas nécessaire pour l’obtention de l’équation du mouvement.

Malgré le fait que les solides (1) et (3) tournent en réalité en bloc (), il n’y a aucune liaison matérielle entre ces solides permettant de maintenir l’angle  constant, et donc aucune action mécanique associée à  et finalement aucune puissance virtuelle.

 

Cinématique

On considère donc, comme on vient de le justifier, un mouvement relatif entre les solides (3) et (1).

On pose .

On cherche à exprimer  en fonction de  et .

 

 

Le roulement sans glissement au point I se traduit par :

           

 

 

                  

 

                        

 

L’engrenage conique se traduit par : , autrement dit .

On a donc :          et              .

 

          et      

 

                          

 

 

1ère équation de Lagrange

On note T l’énergie cinétique galiléenne du mécanisme (1,2,3,4).

Seule l’inertie de la toupie (4) est prise en compte. On a donc .

L’équation de Lagrange relative au paramètre  s’écrit ,

 et  (aucune action mécanique associée à ).

L’équation du mouvement s’écrit donc :

                      

 

 

 

On retrouve évidemment l’équation du mouvement (équation [7]) issue du PFD.

 

integration de l’equation du mouvement

On se place dans le cas où , , , A et B du même ordre de grandeur.

L’équation du mouvement devient :                 avec .

En posant  (vitesse de rotation du porte-toupie par rapport à la boule), on obtient :

 

          équation qui s’intègre :

, où  et a constante d’intégration, avec t en s,  en rad/s et  en rad.

 avec t en s,  en Hz et  en °.

 avec t en s,  en Hz,  en ° et .

En supposant  :  avec t en s,  en Hz,  en ° et .

 

Temps nécessaire pour passer de 2Hz à 5Hz

On suppose que  (amplitude du mouvement de la main ) ().

On souhaite connaître le temps nécessaire pour que la vitesse du porte-toupie passe de  à .

 

Il faut environ 14 secondes pour que la vitesse du porte-toupie passe de 2Hz à 5Hz (la toupie passe de 3600 à 9000 tr/min), avec une amplitude de la main de 12°.

 

L’expérience menée sur la powerball réelle, bien qu’il soit difficile de quantifier l’amplitude la main, semble confirmer l’ordre de grandeur (15 à 20 secondes pour passer de 2Hz à 5Hz).

 

Sans approximation

En exploitant l’équation du mouvement ci-dessous, sans faire aucune approximation, avec , , , ,  et , le temps calculé pour que la toupie passe de 3600 à 9000 tr/min est de 13,70 s.

 

 

Puissance et couple développés par la main

En pleine accélération, la toupie tournant à 9000 tr/min (porte-toupie à 5Hz), la main développe :

- un couple                             

- une puissance                     

 

schema-bloc d’un banc powerball

On considère la boucle de régulation représentée sur le schéma-bloc ci-dessous.

La partie opérative est représentée par le mécanisme du schéma cinématique ci-dessous.

Ce mécanisme est équipé de 2 capteurs :

- l’un pour mesurer la direction du couple « toupie / boule »,

- l’autre pour mesurer la direction de la vitesse de rotation de la boule.

 

La partie commande élabore la loi de commande du couple moteur  pour rendre l’écart entre les 2 directions mesurées le plus petit possible, malgré la perturbation représentée ici par le couple « gyroscopique » exercé par la toupie sur la boule.

 

 

1ère simulation numérique DE LA POWERBALL

On souhaite valider l’équation du mouvement de la « powerball » obtenue par application des principes de la dynamique en déterminant la courbe de variation de la vitesse de la toupie (4) en fonction du temps grâce à une simulation numérique effectuée sous « Solidworks-Meca3D ».

La « powerball » est modélisée comme indiqué sur le schéma ci-contre.

 

Paramétrage du mouvement

Ce modèle est mobile de degré 2. Les liaisons pilotes sont les liaisons pivot entre la toupie (4) et le porte-toupie (3) d’une part, et entre le porte-satellite (1) et le porte-toupie (3) d’autre part.

La vitesse de rotation entre le porte-toupie (3) et le porte-satellite (1) est « imposée » et nulle pour traduire la régulation de la rotation de la main du joueur par rapport à la rotation du porte-toupie ().

Grâce à ce paramétrage, il n’y a aucun couple selon  transmis entre (1) et (3), ce qui n’aurait pas été le cas si une liaison encastrement avait été prévue pour permettre à (1) et (3) de tourner en bloc.

La cinématique du mécanisme dépend donc finalement que de la seule rotation dans la liaison pivot entre la toupie (4) et le porte-toupie (3). Le mouvement du mécanisme est alors initialement défini grâce à une vitesse initiale non nulle de la toupie (4) par rapport au porte-toupie (3) (3600 tr/min).

La rotation dans la liaison entre (3) et (4) étant déclaré comme « libre », le mouvement du mécanisme évolue donc en fonction des efforts qui lui sont appliqués.

 

Paramétrage des efforts

L’absence de rotation dans la liaison entre (1) et (3) n’est possible que grâce au couple moteur  (action du joueur) qui permet au porte-satellite (1) de suivre le mouvement du porte-toupie (3). Sans cette action mécanique, il y aurait fatalement une rotation dans cette liaison, le porte-satellite (1) se dérobant sous les efforts exercés par le porte-toupie (3).

Le couple  est déclaré comme « inconnu », et sa valeur est calculé pour qu’à chaque instant, il n’y ait aucun mouvement entre (1) et (3).

 

Paramétrage des inerties

Les moments d’inerties de la toupie (4) valent :  ,  (voir paragraphe « Caractéristiques d’inertie des solides »).

L’hypothèse « A et B du même ordre de grandeur » est vérifiée.

Les autres inerties sont déclarées nulles.

Autres grandeurs caractéristiques

Le roulement sans glissement entre la toupie (4) et la boule (2) est caractérisé par un rayon de la toupie (4)  et un rayon de la boule (2) .

L’angle  caractérisant l’amplitude de la main () vaut .

 

Résultats de la simulation

(vidéo de la simulation)

La courbe ci-dessous représente la vitesse de rotation de la toupie (4) par rapport au porte-toupie (3) en fonction du temps.

La toupie atteint une vitesse de 9000 tr/min après environ 13,7 secondes, ce qui est tout à fait cohérent avec la durée estimée grâce à l’équation du mouvement.

 

 

Remarques

L’engrenage conique entre (0) et (2) donnant des résultats surprenants, la simulation a en fait été effectuée sur le modèle ci-dessous à gauche, la liaison entre (0) et (2) par l’intermédiaire de (5) se substituant au roulement sans glissement, en conservant l’homocinétisme ().

 

 

 

Le modèle de droite où l’engrenage conique entre (0) et (2) a été remplacé par une liaison ponctuelle ne conserve pas l’homocinétisme, mais s’en approche d’autant plus que l’angle  est petit.

La courbe de vitesse obtenue par simulation sur ce 2ème modèle ne présente pas de différence notoire par rapport à la courbe obtenue sur le 1er modèle.

 

2ème simulation numérique DE LA POWERBALL

La régulation considérée dans la simulation précédente est une régulation « parfaite », d’une part parce que les capteurs sont parfaits, et d’autre part parce que la partie commande permet de part le paramétrage effectué d’obtenir un écart  constamment nul.

 

On souhaite effectuer une 2ème simulation où l’écart , représentant la rotation dans la liaison pivot entre (1) et (3), ne soit pas constant. On souhaite que cet écart  pilote effectivement la partie commande pour élaborer le couple moteur à appliquer sur le solide (1) pour maintenir  le plus petit possible.

 

Meca3D permet de définir un couple, motorisant une liaison pivot, variable en fonction d’une position ou d’une vitesse dans une autre liaison.

On définit donc 2 couples motorisant la liaison pivot entre (0) et (1), l’un fonction de l’angle  dans la liaison pivot entre (1) et (3), l’autre fonction de la vitesse .

 

On choisit des lois de variation linéaire et la partie commande est donc représentée par l’équation :

.

On a donc une partie commande à actions proportionnelle et dérivée.

 

Paramétrage du mouvement

Le modèle est mobile de degré 2. Les liaisons pilotes sont les liaisons pivots entre la toupie (4) et le porte-toupie (3) d’une part, et entre le porte-satellite (1) et le porte-toupie (3) d’autre part.

Les rotations dans ces 2 liaisons sont déclarées comme « libres ».

 

La vitesse initiale de la toupie (4) par rapport au porte-toupie (3) vaut 3600 tr/min.

La vitesse initiale dans la liaison entre (1) et (3) est nulle.

Paramétrage des efforts

Les 2 couples moteurs, dans la liaison pivot entre (0) et (1), variables en fonction de la position et de la vitesse dans la liaison entre (1) et (3), sont définis de la façon suivante :

 avec                                               ()

 avec                               ()

 

Paramétrage des inerties

Les moments d’inerties de la toupie (4) valent  et .

Le moment d’inertie du porte-satellite (1) est déclaré comme non nul () pour des raisons de stabilité.

Les autres grandeurs d’inertie sont nulles.

 

Résultats de la simulation

La courbe de vitesse obtenue ne présente pas de différence notoire par rapport à la courbe obtenue dans la 1ère simulation.

La toupie atteint donc une vitesse de 9000 tr/min après environ 13,7 secondes.

 

On trouve ci-dessous la courbe représentative de l’écart  en fonction du temps.

La boucle de régulation est soumise à une perturbation croissante (entre autres, le couple « gyroscopique » Toupie sur Boule proportionnel au carré de la vitesse de la toupie).

L’écart, que l’on peut assimiler à une sorte d’écart de traînage en réponse à une perturbation croissante, va également croissant, pour générer le couple moteur  nécessaire pour vaincre le couple perturbateur.

 

Pendant le régime transitoire, on trouve des oscillations du porte-satellite (1), oscillations caractérisées (voir paragraphe suivant « Caractérisation du régime transitoire ») par une pulsation propre de  et un coefficient d’amortissement réduit de .

 

caractérisation du régime transitoire de la 2ème simulation

On souhaite écrire les équations différentielles reliant le couple moteur  à la vitesse de rotation du porte-toupie  et à l’écart  entre le porte-toupie (3) et le porte-satellite (1).

Connaissant l’expression du couple moteur  en fonction de , , on déterminera les caractéristiques du régime transitoire de la simulation précédente.

 

 

1ère équation de Lagrange

L’inertie du porte-satellite (1) étant maintenant non nulle (), l’énergie cinétique galiléenne du mécanisme (1,2,3,4) s’écrit :

L’équation de Lagrange relative au paramètre  s’écrit toujours :

 

En remplaçant  par , on obtient :

 

Avec A et B du même ordre de grandeur,  et ,

 

On suppose que la régulation est suffisamment performante pour avoir :

,  ,  et  du même ordre de grandeur, pour  ().

Finalement , ou .

 

L’équation en , avec les mêmes hypothèses s’écrit :

 ou .

 

Ces 2 équations montrent que  et  n’ont pas la même « sensibilité » aux variations de .

 étant quasiment « insensible »,  n’est plus soumis aux variations de  que quand le régime transitoire est éteint (à partir de l’instant où ).

La relation  confirme que si  est « insensible » aux variations de , alors  est forcément « sensible ».

 

2ème équation de Lagrange

L’équation de Lagrange relative au paramètre  n’a pas été explicitée au paragraphe « Equation du mouvement : dynamique analytique ».

En posant , elle s’écrit , avec  et .

 

 avec , autrement dit, .

 


En remplaçant  par ,


Avec A et B du même ordre de grandeur,  et ,

 et  sont du même ordre de grandeur et

                          

 

         

On pose .

 

Stabilité

Dans le cas où le moment d’inertie  est nul, le facteur du terme en  dans l’équation différentielle s’écrit  au lieu de .

Ce facteur (sensible aux variations de ) pouvant être négatif (signe opposé à celui de  et ), la stabilité de la régulation n’est pas assurée.

 

Intégration de la 1ère équation du mouvement

La 1ère équation s’écrit .

Soit  la fonction qui vérifie l’équation  avec .

Cette fonction s’écrit  avec .

On peut alors raisonnablement écrire :

 

Intégration de la 2ème équation du mouvement

La 2ème équation s’écrit :  avec . On a .

Au vu de la courbe représentative de l’écart , on peut raisonnablement écrire de façon approchée, pour  :

 

 caractérisant le régime permanent,

 caractérisant le régime transitoire, avec :

On a également pour  :

avec

 ,  ,  ,  ,